ベクトル 微分。 位置・速度・加速度と微分

なんで位置ベクトルを微分すると速度ベクトルになって速度ベクトルを微分...

ベクトル 微分

記号の定義 以下の記号で統一的に定義しておく。 ベクトルは原則として列ベクトル表示を標準とする。 1 2 3 4 5 6 ベクトル・行列をスカラーで微分 これらは素直にベクトル・行列の要素を微分すればよい。 7 8 スカラーをベクトルで微分 スカラーを のベクトルで微分すると、同じ次数のベクトルになる。 9 これは便宜的に以下のように考えるとよい。 10 スカラーを行列で微分 スカラーを の行列で微分すると、同じ次元・次数の行列になる。 11 これは便宜的に以下のように考えるとよい。 12 ベクトルをベクトルで微分 この場合、微分する変数側を行ベクトルとするか、微分される関数側を行ベクトルとするか2通りの表現があるが、ここでは変数側を行ベクトルとする。 13 これは便宜的に以下のように考えるとよい。 14 公式 一般形 単位行列 ベクトルを同じベクトルで微分すると、単位ベクトルではなく単位行列になる。 15 合成関数 スカラーの合成関数と似ているが、イメージと積の順番が逆で、この順番は変えられない。 16 これは以下のように確認できる。 17 積の微分 行列の積のスカラーによる微分 18 これは素直に次のように確認できる。 23 [証明] 24 25 投稿ナビゲーション.

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大学物理のフットノート

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この記事にはやの一覧が含まれていますが、 によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。 脚注を導入して、記事のにご協力ください。 多次元の領域上で定義されたに施すときには、の grad や、ベクトル場に対しては作用のさせ方により curl や div を与えたりする。 これらの形式的な積が、必ずしも他の作用素や積とであることは要求されない。 このような使い方をする最も一般的に知られる例は、、、、などであろう。 これは常に f の最も増加の大きい方向を指し、その点における最大増加率に等しい大きさを持つ(通常の微分と同様)。 特に、丘陵を平面上の高さ函数 h x, y として定めるとき、各地点での勾配を平面に射影したものは(地図上の矢印のような類で)各地点の最も傾きが急な方向を指す xy-平面上のベクトルとなり、勾配の大きさは、この最も急な傾きの値になる。 発散はベクトル場の指す方向にそれがどれくらい増加するかを大まかに測るものであるが、より精確にはその点での場の発散あるいは反発の傾向を測るものである。 各点における回転の値は、その点に中心を持つ小さな風車の軸周りのトルク(回転力)に比例する。 これは場 f の a 方向への変化量を与えるものである。 作用素の記法では、括弧に入れた要素は一つの一貫した単位と考えられ、この規約はでは(流体の「動く」微分としての)の言葉で縦横に用いられている。 ラプラス作用素 [ ] はベクトル場にもスカラー場にも施せるスカラー作用素である。 ラプラス作用素は現代的なに遍在しており、そのごく一部を挙げるならば、、、、などにおいて現れる。 この量は空間に対するベクトル場のの転置に等しい。 D, C, G, L, CC はそれぞれ divergence, curl, gradient, Laplacian, curl of curl を表す。 矢印は二階微分の存在を指し示すもので、青い円は curl of curl の中間表現、赤い(破線の)円は DD と GG が存在しないことを意味する。 そこでこの三種類の微分に、再び各種微分を施すと可能なものが五種類出てきて、これにとを加えると、以下のようになる。 参考文献 [ ]• Schey, H. 1997. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus. New York: Norton. Miller, Jeff, ,• Moler, Cleve January 26, 1998 , , netlib. org , 関連項目 [ ]• () 外部リンク [ ]• 1994 Tai, Chen.

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すなわち, いつ, どこに, どんな状態で存在していて, 今後どうなるのか, を知ることである. ここでは, 物体の運動の様子を表す最も単純かつ基本的な物理量としての 位置, 速度および 加速度について議論する. 位置や 速度がどのような物理量なのかは比較的理解しやすいが, 加速度はなかなかイメージしにくい人もいるようである. しかし, なんということはなく, 位置と速度の関係と 速度と加速度の関係の数学的構造が全く同じであることを示す. なので, 位置と速度の関係をよく理解してもらったあとで, そのアナロジーを用いて加速度の議論を行うことにする. これらを語るにあたっては, 微分・積分という数学の言葉を借りるわけだが, その数式が表す意味は日常と乖離したものではない. むしろ, 微分・積分という数学を知っている人からすると, 位置・速度・加速度を微分・積分をもちいて語ることこそが自然に感じられるであろう. まずは下準備として, ベクトルの表記法や導関数について簡単に議論するが, これらを理解している人は読み飛ばしてもらって構わない. この表記法は物理分野で一般的に用いられており, 世の理工学書などではこの表記法が多く見受けられるので今のうちから慣れておくとよい. このページで扱う太字アルファベットの書き方の例を下に示しておく. 太字のアルファベットを実際に書くときにはアルファベットの一部を二重線にすることで表現することがもっぱらである. 下準備 : 微分係数と導関数 詳しくはも参照していただきたいが, 微分係数および 導関数と呼ばれるものについて簡単に議論しておく. 表現の違いにとらわれず, その意味を明確に理解するよう努めていただきたい. ここではこの第2次導関数の性質については踏み込まないが, このような関数を定義できることを知っておいて頂きたい. 1次元運動の速度 平均の速度というのは, 二つの時刻と位置を指定することで定まる量であった. しかしながら, その二点以外の情報は捨て去ってしまっているのである. これでは, 物体の運動を常に追いかけて調べようとしている我々の立場としてはやや不満足であろう. 3次元運動の速度 これまでに1次元方向の変位や速度について議論してきた. 加速度 後に分かるように, ニュートンが見つけた運動の法則 運動の3法則 において本質的な役割を担う物理量の一つが 加速度である. 加速度とは速度の変化具合を表す量であり, 位置と速度と 速度と加速度の数学的な構造は全く同じものとなっている. 1次元運動の加速度 速度のときと同じく, 瞬間の加速度あるいは単に 加速度と呼ばれるものを考えよう. 3次元運動の加速度 加速度についても, 1次元での議論をそのまま3次元に拡張することができる. この 加速度 ベクトル は, 時々刻々と変化する 速度 ベクトル の変化を表すものである. したがって, ある瞬間の加速度を知ることは, その瞬間の前後で速度の向き・大きさの変化がどのようになっているのかを知ることに等しい. 時間微分の表記 これまでの議論においてもそうであるように, 物理の学習を進めていくと物理量を時間で微分する機会が頻繁にある. 各記法毎に利点があるので両方を理解した上で, 状況に応じて使い分けてくれればよい. なお, 当サイトでは主にライプニッツの記法で時間微分を書き表すことにする. 物理量の諸関係式を単に公式で与えずに, 数学的な構造まで明確にして記述する利点はこのようなところにある. 物理ではじめて出くわす概念は様々あるが, 同じ数学的構造を持つ別の 理解しやすい 関係式と結びつけることで理解のハードルを下げてくれる. この視点が十分に養われれば, 高校物理で取り扱われる話題では またこの数学的構造か. という感想を何度も持つことになるであろう. 実際, 歴史的には位置・速度・加速度などを議論するために考え出された数学が微分・積分なのである. 当サイトではあまり歴史的な経緯は考慮せずに議論する. ある 一点における傾きとは何か, ということが気になる人は大変に鋭い. しかし, ここでは非常に小さい幅の間での傾きという素直な解釈で十分であり, このような操作の妥当性が担保された関数について考えることにしよう.

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