エントロピー 計算。 [入門]初心者の初心者による初心者のための決定木分析

うさぎでもわかる情報量・エントロピー・相互情報量(情報理論)

エントロピー 計算

5L飲んでいます. 分類木のときと同様にこのデータから「温度と湿度がどのようなときに水を何L飲むか?」といったことを木で表現できます. この木のことを 回帰木といいます. この図を同様にグラフに描画するとこのようになります. 以上が,Aさんがその日の温度と湿度によって水を何L飲むのかを推定するモデルです. 決定木の特徴 ?• 「決定木」はアルゴリズムの名前ではない アルゴリズムはID3やC4. 5,CARTと様々あります.• ノンパラメトリックな教師あり学習の手法 解析対象のデータの分布を仮定しません. また,事前に与えられたデータから未知のデータについて推定を行います.• 結構使われている Data Miningで使われるアルゴリズムTop10に2つランクインするくらいメジャーだそうです. 少し古いですがソースは 決定木の長所と短所 次に決定木の長所と短所についてまとめていきます. 長所• 可読性が高い 木が生成されるイメージからして出力結果の分析が容易そうですね.• 説明変数・目的変数共に名義尺度から間隔尺度まで様々扱える 質的データから量的データまで様々扱えます.• 外れ値に対して頑健 短所• 分類性能の高い手法ではない やはりSVMなんかが強い.• 過学習を起こしやすい パラメータの調整や枝の刈り込みを上手に行う必要があります.• 線形性のあるデータには適していない 回帰モデルを使いましょう.• XORなど多変数を考慮した分類はできない 多変数の状態を表現できれば... 決定木の構築 イメージ 次はいよいよ決定木の構築についてです. 以下の図は自分で作ったもので赤丸と緑丸を分類する2値分類の例です. まず,構築のために学習データが全てルートノードに集められます. そこで,そのデータの持つ素性の中で集められたデータを一番よく分割する素性と閾値の組を選びます. その素性と閾値で分割後,またそれぞれのノードで分割を繰り返し行っていきます. この手順で決定木は構築されていきます. で,この「一番よく分割する素性と閾値の組を選ぶ」というところが肝になってきます. 言い換えると ノード内の不純度を最大限減らす素性と閾値の組を選ぶということです. どのようにしてそれらの組を決めるのでしょうか? この組を選び出すのによく使われているのが エントロピーと ジニ不純度です. これらの話を数式を交えて アレルギーな方にも可能な限りわかりやすく 説明したいと思います. エントロピーの意味とC4. 5です. 式や文章が多くわかりにくかったかもしれないので,以下に「紅葉狩りに行くか否かを天気・気温・風速という素性から決定するモデルの構築」の初期状態での計算例を示します. この例についてはを参考にしました. 全てのデータの揃った状態でのエントロピーは0. 972です. ここから,「天気が晴・曇・雨」「天気が晴か否か」「天気が曇か否か」「天気が雨か否か」「気温が高いか低いか」「風速が強いか弱いか」という観点でそれぞれ分類を行い,利得を計算しています. この例では「風速が強いか弱いか」で分類をすると一番利得が大きくなったので,ルートノードは「風速が強いか弱いか」を基準として分類するという結果になります. 以上がエントロピーの意味とC4. 48です. ここから,「天気が晴か否か」「天気が曇か否か」「天気が雨か否か」「気温が高いか低いか」「風速が強いか弱いか」という観点でそれぞれ分類を行い,利得を計算しています. この場合も「風速が強いか弱いか」で分類をすると一番利得が大きくなったので,ルートノードは「風速が強いか弱いか」を基準として分類するという結果になります. 以上がジニ不純度の意味とCARTについてです. その他細かい点• 説明変数の連続値の扱い方について これは任意の素性値についてソートを行い,各要素間の中間値を算出します. 求められた各々の中間値を閾値として分類を行い利得を算出するそうです.• 5とCARTの扱える問題 C4. 5は分類,CARTは分類と回帰に対応しています.• 5とCARTによって生成される木 C4. data アヤメの種類 目的変数 は3種類 3値分類 print iris. fit iris. data , iris. predict iris. dotが出力されるので中身をwww. webgraphviz. 試してません,ごめんなさい. 実行結果 実行結果は以下のようになるかと思います. またdotファイルをgraphvizにかけると以下のような結果が得られると思います. これで実際にアヤメの品種はどのような基準で分類するといいのか一発でわかりますね. 面白い!!! まとめ 最後までじっくり読んでくれた方,読みにくい記事を最後までよんで頂きありがとうございます. 「なるほどね!」「かゆい所に手が届いた!」みたいな方が少しでもいてくれたら幸いです. 本当はこの木の最小化はNP完全だとか理論の真面目な話もやりたかったのですが,僕の学習が間に合いませんでした. 頭悪い...

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エントロピー変化△Sの算出方法について。

エントロピー 計算

エントロピーという言葉を聞いたことがあるでしょうか? この言葉は高校の物理の知識までだと恐らくあまり出てこない筈です。 メインで登場するのは大学に入ってからです、特に熱力学の分野で初めて耳にする学生も多いでしょう。 筆者は某国立大学に通っていた時期に教養科目の一環として学びました、理系の方であれば避けては通れないと思います。 しかし大学の授業やテキストでは昔の論文の数式などを使ってかなり難しめに解説されていたりするので、具体的にイメージしづらいと多くの人が思っているはずです。 また熱力学以外でも実は統計力学と情報学の分野でも出てきてそれぞれで微妙に意味が違ってきます。 今回はそのエントロピーについて具体例を多めに出しながらわかりやすく解説していきます! スポンサーリンク エントロピーとは何か? この世界で起きるありとあらゆる現象はほぼ全てある共通点があります。 それは ビデオテープの巻き戻しみたいに、決して逆向きには起きないということです。 例えばガラスのコップが地面に落下するという現象を想定したとしましょう。 この時地面に落ちたガラスはバラバラに砕けた破片となり元に戻ることは決してありません。 同様にガラスのコップの中に水が入っていたら、水はこぼれてコップの中に戻るということも決してありません。 このような元通りのできない一方通行の過程は物理の分野では 不可逆過程と言います。 もちろん我々人間が割れたガラスの破片を全て集めてそれを再び高熱で溶かして全く同じ形に冷やせばガラスは元通りの形になります。 しかし外部から何も力が働かずに勝手にガラスが意志を持ったかのように集まってくっついて元通りになるなんてことはあり得ません。 割れたガラスが元に戻らないという過程もそうですが他にも、• コーヒーに砂糖とミルクの粉を入れて混ぜると、2つに完全に分離するということはない• ココアの入った温かいマグカップを冷えた手で持つと手が温まりカップは冷えていく など、日常生活ではごく当たり前に不可逆過程は起こっています。 この不可逆過程の起こりやすさ(又は起こりにくさ)を具体的に数値として表現したのがエントロピーと言う状態量です。 エントロピーの数値を用いてその大小を計ることで、 その過程がどのくらい不可逆的か?どれだけ元に戻りにくいかを表しているのです。 さらに重要なこととして、エントロピーには ある不可逆過程が発生した時にエントロピーは常に増加し決して減少しない という増大則があるのです! 先ほども紹介した割れたガラスの例で解説しますと、ガラスが割れたことでガラスが保持していたエントロピーが増大していることになります。 割れたガラスが元に戻らないというのはすなわちエントロピーが減少しないということを意味します。 このような法則があることから、エントロピーはしばしば 時の矢なんていう呼ばれ方もされます。 時間は過去から未来に向けての一方向しか進行しないということを意味した比喩表現ですが、エントロピーの増大というのはまさに一度放たれた矢が戻ってこない一方向性と同じことです。 すなわちエントロピーが増えれば時間が進み、逆に減少すれば時間が逆行するということを意味します。 エントロピーは熱力学第二法則と密接に関係! 冒頭でも解説しましたが、エントロピーをより詳しく学習することになるのは大学の熱力学の講義に入ってからです。 熱力学においては、ある現象が発生すると必ずエネルギーも移動します。 ガラスの水に氷を入れてキンキンに冷やしても、数時間も経てば氷は解けて室温と変わらなくなります。 同様に沸騰させたお湯をそのまま数時間放置するとやはり室温とほぼ変わらなくなります。 この2つに共通しているのは 熱の移動です。 以前熱容量と比熱の違いについてまとめた記事でも触れていますが、物体が持つ熱は温度が高い方から低い方へと流れるという法則があります。 これはまさに不可逆過程そのもので、この熱の移動に関する法則を 熱力学第二法則と言います。 熱力学、ひいては現代物理の中でも最も重要な法則と位置付けられています。 上で紹介したエントロピーの増大則はこの熱力学第二法則から導き出されたものです。 ただし増加すると言いましても、ある一部分だけはエントロピーが下がることもあります。 例えば夏の熱い時期に部屋を冷房で冷やすとします。 エアコンを冷房に設定すれば部屋の中の空気は冷えるので、熱量的には下がっていて、エントロピーの増加は負になります。 こう考えますと一見エントロピー増大則は間違っていそうな気もしますよね? でも実はエアコンの室外機による排熱で常に家の外部が暖まっているので、 室外まで考えるとトータル的にエントロピーは増加していることになります。 マクスウェルの悪魔とは? エントロピーがトータルで見てマイナスになっていると、その過程はエントロピー増大則に違反します。 これは明らかに間違っているとも思われますが、改めてなぜこれが正しいと断言できるのか? 実は昔の物理学者はこの事実をはっきりと証明できずにいました。 熱力学第二法則、及びエントロピー増大則も現代物理において超重要な法則であるにも関わらず、確実に正しいor矛盾していないとなぜ言い切れるのか? その疑問に改めて挑んだのが、電磁気学で有名な ジェームズ・クラーク・マクスウェルです。 電磁気学のマクスウェルの方程式で有名な人ですが、彼の言うには気体の分子運動を観察できる 架空の悪魔を想定することで、熱力学第二法則、及びエントロピー増大則に矛盾した結果を導き出すことも可能だということです。 一体どういうことなのか?図を使って簡単に解説します。 上の画像のようにある空間内部に気体をぎっしりと詰み込んで、ドアのある仕切りを使って2つに分けると仮定します。 この時気体の分子の動きを観測できる架空の悪魔を呼び出して、分子の速い気体と遅い気体を見極めるとします。 2種類の気体を見極めた悪魔は中央にあるドアを開け閉めして、速い気体を左側に、遅い気体を右側に分けることができます。 分子が速い気体の方が温度が高く、遅い気体の方が温度が低いということになりますが、この悪魔はほぼ仕事をすることなく自由に気体の温度を調整できます。 これは熱力学第二法則で定義された、物体が持つ熱は温度が高い方から低い方へと流れるという大原則に完全に違反していることになりますね。 これを認めてしまうと、最終的に 永久機関まで実現できちゃうらしいのです! 永久機関とは外部から一切力を与えることなく仕事をし続けエネルギーを生み出す装置のことです、電気だって無限に作れちゃいます! 人類が長年夢見ている永久機関ですが、残念ながら1980年代にこのマクスウェルの悪魔は間違っていることが証明されました。 要は観測する際には必ずエネルギーが消費されるということになりますが、これは後に紹介する情報学の項にも関係してきます。 また後に統計力学の分野でもボルツマンが「 分子の乱雑さ」を示す尺度としても導入しています。 このためエントロピーはしばしば「部屋の散らかり具合」としても例えられます。 散らかっている部屋と整然としている部屋を見比べて、どっちがエントロピーが大きいかと言われたら、 散らかっている部屋の方が乱雑しているのでエントロピーは大きい なんていう例えがされます。 また熱いコーヒーにミルクを入れてかき混ぜると、コーヒー全体にミルクが行き渡って一定時間が経過してもコーヒーの温度が下がらない限りミルクが自然と分離したりはしません。 これは部屋が自然と散らかっていく現象と似ています。 最初は本棚に整然と本が並べられても、読書好きな人が一日中適当に本を読み続けたら部屋中に本が散らばっているでしょう。 本をミルク、コーヒーを部屋に置き換えるなら、この2つはエントロピーが増大しているという点では同じですね。 ただし熱いコーヒーにミルクを入れるという過程はを 分子運動と言うミクロな視点で考えると、エントロピーが意外な数式でも表せれるんです! スポンサーリンク エントロピーを確率論で解釈する コーヒーにミルクを入れるという過程は 確率論とも結びつきます。 一体どういうことなのか、具体例を出して解説します。 上の画像のように白い碁石を6個、黒い碁石を6個ずつ用意して、それらを一つの袋の中に入れて混ぜ合わせ、1個ずつ取り出すという遊びを考えます。 さてこの時、最初の6個が綺麗に1色だけになる(即ち白い碁石か黒い碁石を最初の6回で連続で取り出せる)確率Pはどのくらいか?• 白白白白白白黒黒黒黒黒黒• 黒黒黒黒黒黒白白白白白白 この2パターンになればよいのですから、確率は上の2パターンを全ての碁石の取り出し方(924通り)で割れば求められます。 002165 となります、ほぼ0%だと考えてもいいです。 となります。 ) 碁石の数が6個ずつで考えていますが、当然増えれば増えるほど上の確率Pの値は限りなくゼロに近づいていきます。 白or黒のみを連続で何十回も取り出すなんて言うことは限りなく不可能に近く、必ず両方の色が混ざって出てくるというのは何となく理解できますね。 この事実を先ほども紹介したコーヒーとミルクの分離で考えますと、ミルクの分子が白い碁石、コーヒーの分子が黒い碁石となります。 両方同じ数になることはほぼないですが、分子の数で例えましたら、碁石の数は何億とか何兆とかに膨れ上がる筈です。 白い碁石だけを連続で取り出すということは、即ちミルクの分子が完全に分離することと同じだと言えますので、確率はほぼゼロになると理解できますね。 このような解釈の下でエントロピーは次のような数式でも表現できます。 上の碁石の例で例えたらWとは全ての碁石の取り出し方になります。 碁石の数が多くなればなるほどこのWの数は増えますから、必然的にSの値も増大します。 分子運動で解釈しますと、Wの数はとんでもなく巨大な数になりますので、例え自然対数をとってもSの値はかなりの大きさになると理解できます。 このように考えてもやはりエントロピーSは増大している、即ち不可逆過程だと証明できるのです! 情報学におけるエントロピーとは? エントロピーの概念は、大学で学ぶ 情報学でも出されます。 筆者も最初に学んだ時は、熱力学で出された状態量がなぜ情報学なんかで出てくるんだろうと不思議に思いました。 やはり熱力学と同様で複雑な数式を使って表現されますがここでは省略させていただきます。 わかりやすく直感的な解説に留めると、ある 事象が発生する確率が引くければ低いほどその事象に関するエントロピーは大きくなるという解釈です。 これは先の統計学の話とも繋がっていきます。 部屋が散らかっている方がエントロピーが大きいと解釈できるわけですが、これは情報がより不確定でわかりにくいという解釈ともとれるわけです。 よって 未来が予測しづらい=エントロピーが大きいとなるわけです。 これが情報理論におけるエントロピーの解釈になりますが、皆さんがほぼ毎日目にする天気予報が良い例になるでしょう。 しかしもし降水確率50%と言われたり、雲一つない快晴だったとしたら果たして傘を持っていくでしょうか? 50%と言いますと降るか降らないかかなり微妙ですよね? これがより不確実性を高めているわけで、要するに確率が低ければより予測がしにくくなりエントロピーが大きくなるということになるわけです。 熱力学では不可逆過程の起こりにくさを表す指標• 統計力学では(分子の)乱雑さを表す指標• 情報学では未来のある事象の予測しにくさを表す指標 ということになります。 今回はあくまでわかりやすくい解説と言うことなので敢えて難しい数式などは省いての形になりました。 エネルギーと同じで目に見えない状態量の動きとなるので中々イメージしにくいものですが、それでもエントロピーを理解すれば現代物理学の基礎と本質が目に見えてくると思います。 【その他物理学関係の記事はコチラ!】 スポンサーリンク.

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情報基礎 「Pythonプログラミング」(ステップ7・統計計算・情報量と情報エントロピー)

エントロピー 計算

Pythonプログラミング(ステップ7・統計計算・情報量と情報エントロピー) このページでは、「情報」の量的表現である情報量とエントロピーについて考える。 (ここは作成中) 情報のデータ化とデータの情報化 世の中にはいろいろなサービスがあって、それらの口コミ情報が溢れ、多くの場合、評価が「星」の個数などのかたちで点数化されている。 そして我々は、その点数を見ながら、どの店を選ぶか、思案したりするわけである。 サービスの質を点数化する行為について改めて考えてみよう。 **ログや、**. com が得たい情報は、それぞれの店やサービス、商品の「質」や「満足度」で、色々な価値の尺度があり得る。 そして、価値に関わるような事項は、数値化が難しいはずだ。 そこで、質問項目を工夫することで、価値の方向性(評価軸)を明確化して、5段階などの尺度として回答させ、データを得ている。 情報機器を使って我々が操作できるのは、基本的に数値や記号のみである。 他方で、情報とは何らかの意味で価値と不可分であって、客観的でなかったり、表現が困難な場合も多い。 アンケート調査は、この典型的な例と言えよう。 それとは反対に、社会活動の中では、特定の目的や意図なしに、自動的に収集されているデータも膨大に存在する。 パソコンやスマートフォンを利用していると、あらゆるサービスで、アクセスや利用の状況が記録されているし、 携帯基地局やWi-Fiのアクセスポイントとモバイルデバイスがデータをやり取りする過程で、通信事業者は利用者の位置情報を把握している。 検索サービスの利用状況は、利用端末と共に、全て記録されている。 これらのデータの意味や価値は、サービスの運用が開始された当初は必ずしも明確ではなかったかもしれないが、 ビジネスの展開や社会の変化の中で、新しい使い道が見いだされてきた。 つまり、データの中から新しい情報が発掘されるような状況に至っているのが現代の社会である。 たとえば、COVID-19の流行においては、スマートフォンのロケーションデータが濃厚接触の検出に使われるようになっているが、 ウィルス感染症の拡大防止は、社会的にも、個人にとっても、有益であるとの価値判断の下に、 そのデータに新たな意味が付与されるようになったわけである。 データの尺度 着目する調査対象についての情報をデータとして表現する際に、何らかのものさし(尺度)を導入する必要がある。 統計学では、以下の分類がよく使われる: 名義尺度 nominal scale データをカテゴリを表す数値や記号。 性別(男,女)、検査結果(陰性、陽性)など。 順序尺度(ordinal scale) データの順序・順位。 成績の順位:1,2,3,... 、嗜好の程度: 嫌い,やや嫌い,どちらでもない, やや好き, 好き など。 間隔尺度(interval scale) データの絶対値そのものではなく、データ間の差に意味がある尺度。 摂氏や華氏の温度、試験の点数 など。 比例尺度(ratio scale) 基準値を単位とした大きさの尺度。 絶対温度(ケルビン)、ほとんどの物理量。 その量的尺度が情報量である。 対数の底を2に取った場合、その単位はビット bit である。 つまり、まれにしか起きない事象に対する情報量は大きく、当たり前(確率が1に近い)の事象の情報量は 0 に近づく。 情報量は、得た情報の意外性の量的な尺度、と言える。 離散事象に対するエントロピーは必ず0か正値を取るのに対して、微分エントロピーは負値も取り得るなど、性質の異なる点もある。 アンケートで「たくさんの」情報を得ようとした場合、結果はできるだけ回答ごとにバラけていたほうが良いだろう。 すると、エントロピーの大きさが、得た情報の目安のひとつとして使えるはずである。 例えば、実際のアンケート調査では、5件、7件、あるいは9件のように、ちょうど「中央」を設ける場合が多い。 coding: utf-8 import numpy as np import math import pandas as pd import matplotlib. 4,2. 2,3. 0,3. 8,4. 6] axes[i]. show 練習:アンケート結果の信憑性 複数の項目について回答する際に、つい面倒に感じて、全て「5」を付けたりする場合も少なくないかもしれない。 上記のアンケートデータの中で、オール5のサンプルを除外したら、結果はどのように変わるか(変わらないか)を確認してみなさい。 相互情報量 アンケートで複数の回答項目を設けることによって、より多くの情報を得ることができそうにも思える一方で、 全ての項目が類似の点数であったとすると、項目の追加によって得られる情報量は限られるだろう。 言い換えれば、1つの項目についての情報を得たならば、他の項目についての情報も得ることができる。 XとYの2つの確率事象があった際に、『Xを知ることで、Yについて追加で得られる情報量』、あるいは『Yを知ることで、Yについて追加で得られる情報量』は相互情報量と呼ばれる。 このとき、相互情報量は最小となる。 反対に、相互情報量が大きな値であればあるほど、情報源は互いに類似していることになる。 2つの変量の関連性の指標のひとつとして相関係数が用いられるが、相関係数はXとYの線形的な関係を想定しており、非線形な関係性の有無を検知することはできない。 一方で、相互情報量は、線型性の有無に関係無く、確率的な非独立性を検出することができる。 宿泊施設の評価アンケートの2つの項目について、相互情報量を計算するコードの例である。 このコードでは、「立地」と「総合」評価について計算する。

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